Дополнительные построения в планиметрии

Задачи с окружностями

С помощью дополнительного построения окружности часто решаются задания № 24 и № 26 ОГЭ, а также № 16 ЕГЭ.

Пример (из открытого банка заданий ОГЭ ФИПИ)

Точка H является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=6, AC=24.

Строим окружность вокруг треугольника ВНС. Центр этой окружности является и серединой ВС. ВС — диаметр. АС по отношению к данной окружности — секущая. АВ — отрезок касательной. АН — внешняя часть секущей. Все это подводит к теореме о квадрате касательной.

АВ² — произведение секущей на ее внешнюю часть. Следовательно, нужно умножить AH на AC. 6×24 = 144 (это АВ в квадрате). АВ=12.

Задачи с несколькими вариантами дополнительного построения

В условиях задания № 16 ЕГЭ пункт «б» может подсказать, какое решение задачи будет более удачным.

Пример (из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ)

Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O.

а) Докажите, что CO=KO.

б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 9/100 площади трапеции ABCD.

Первый вариант построения. Продлеваем ВС и АЕ, вследствие чего появляются равные треугольники АЕD и ZЕC. Так как АЕ=EZ, то ВЕ — это медиана треугольника АВZ. КС и АZ параллельны. Медиана хороша тем, что она делит пополам не только сторону треугольника, но и любой отрезок, который этой стороне параллелен. Поэтому CO=KO.

Площадь треугольника ABZ такая же, как площадь трапеции ABCD за счет равенства треугольников АЕD и ZЕC. Треугольник КВС подобен треугольнику ABZ. Как известно, отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Отрезок BC, деленый на отрезок BZ, равен 3:10. На отрезок СZ приходится 7 частей. Ответ в пункте «б»: 3:7.

Второй вариант построения. Продолжим стороны AB и CD. Используя теорему, обратную теореме Фалеса, доказываем, что KB относится к BY так же, как YE к ED, и что отрезок KD параллелен BE. В треугольнике KCD видна середина CD. Отрезок OE параллелен KD и проходит через середину — следовательно, является средней линией и проходит через середину KC. Пункт «а» задания выполнен. Разобраться с пунктом «б» при данном дополнительном построении сложнее. К ответу 3:7 приводит то, что KB с BY соотносятся так же, как ED с YE.

Задачи с разрозненными данными

Пример (из всероссийской олимпиады школьников по математике, 8 класс, 2017 год, II этап)

Точки M и N — середины сторон BC и AD четырехугольника ABCD. Известно, что ∠В = 150°, ∠С = 90° и AB = CD. Найдите угол между прямыми MN и BC.

Начинаем компоновку данных с точки М и проводим через нее две прямые, параллельные АВ и CD. Далее от точки М откладываем отрезки, равные АВ и, соответственно, CD. Так получается заготовка для равнобедренного треугольника. Нужно понять, будет ли точка N лежать на отрезке, соединяющем две новые точки. Строятся новые отрезки, равные и параллельные ВМ и МС — получается четырехугольник-параллелограмм. AD является диагональю этого параллелограмма, а N — серединой диагонали. Также N лежит и на другой диагонали. Равнобедренный треугольник готов. Угол с вершиной M в нем равен 60°. Треугольник равносторонний, MN является медианой и биссектрисой. MN, пресекаясь с BC, образует угол, равный 60°.

Чтобы ученики прочно запоминали формулы и теоремы, лучше как можно чаще давать им решать подобные задачи. К слову, задачи с трапециями оптимально подходят для отработки навыка дополнительного построения: две параллельные стороны открывают широкие возможности для создания разных геометрических фигур. Об этом – в учебнике «Геометрия. 7-9 классы».