История возникновения логарифмов

Как только в учебнике алгебры появляется обозначение log, у школьников всех времен и народов сводит челюсти до зубовного скрежета. Ну разве только особо влюбленных в математику учеников минует эта участь. А большинство школяров закатывают глаза к небу и мучаются извечным вопросом «Зачем?»...

Предпосылки к открытию

Предпосылки к открытию логарифмов были уже в Античности. Архимед знал о связи между арифметической и геометрической прогрессиями, а также о некоторых свойствах степеней с натуральным показателем.

Большой толчок к развитию не только математики, но и других естественных наук дала Эпоха Великих Географических Открытий. Население росло, запасы истощались, и в поисках новых земель и приключений отважные мореплаватели отправлялись бороздить просторы всех шести океанов.

И, чтобы точно проложить курс через моря и океаны, сложить 5 и 7 было явно недостаточно. Нужны были сложные расчеты с привязкой к звездному небу, учитывающие расположение звезд и конфигурацию планет, для определения курса корабля, а калькулятор в карманы лосин, туго обтягивающих бедра капитана корабля, не помещался.

Астрономы тратили несколько месяцев на трудоемкие расчеты с многозначными числами. В середине XV столетия, сопоставляя значения геометрических и арифметических прогрессий, кому-то из светлых умов пришла идея в расчетах заменить умножение многозначных чисел с громоздкими результатами сложением, взяв геометрическую прогрессию за исходную.

Впервые примеры таких расчетов в 1544 году в книге «Arithmetica integra» опубликовал Михаэль Штифель. Революционной идей ученого был переход от целых показателей степеней к произвольным рациональным числам. Однако развивать свою идею дальше и составлять таблицы для вычислений он не стал.

Джон Непер — отец логарифмов

В начале XVI века два ученых, не зная об исследованиях друг друга, опубликовали свои работы по изучению арифметических и геометрических прогрессий:

• В 1614 г. шотландский математик Джон Непер опубликовал книгу «Описание удивительной таблицы логарифмов».
• В 1620 г. из-под пера швейцарского ученого Иоста Бюрги вышел труд «Таблицы арифметической и геометрической прогрессий, вместе с основательным наставлением, как их нужно понимать и с пользой применять во всяческих вычислениях».

Кто-то может посмеяться и сказать: «Одновременно?! Да между книгами прошло 6 лет, и Бюрги украл идею Непера!». Но во времена, когда не было интернета и международных научных симпозиумов, а информация распространялась «голубиной почтой», 6 лет — не такой большой срок. А одновременное открытие логарифмов, в странах разделенных не только расстоянием, но и языковым барьером, как раз свидетельствует о важности этого открытия.

Учитывая, что Джон Непер предложил придуманный им способ вычислений называть логарифм (от греческих слов logos – «отношение» и arithmos – «число», а вместе – «число отношений»), он по праву считается отцом логарифмов. Еще шотландский математик составил специальные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1 и с точностью до восьми знаков. С началом практического использования таблиц Непера умножение многозначных чисел и извлечение корней значительно упростилось.

Дальнейшая история логарифмов

В 1620 году Эдмунд Уингейт предложил модель логарифмической линейки. И до изобретения калькулятора логарифмическая линейка оставалась незаменимым помощником инженеров, мореплавателей, и других ученых, которым требовалась работа с большими числами.

Впоследствии многие ученые создавали свои таблицы логарифмов, уточняя их значения. Не обошел своим вниманием эту тему и Иоган Кеплер — известный ученый не только открыл законы движения небесных тел, но и составил астрономические таблицы, которые опубликовал в 1624 году с восторженным посвящением Джону Неперу, не зная о смерти отца логарифмов.

Наиболее близко к современному определению логарифмирования подошли Валлис (1685) и Иоганн Бернулли (1694). Эйлер окончательно узаконил логарифмирование как математическое действие, обратное возведению в степень.

Многие ученые в своих вычислениях стали пользоваться таблицами логарифмов, а Лаплас Пьер Симон в одном из своих трудов написал фразу, вынесенную в эпиграф статьи: «Изобретение логарифмов, сократив вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов».

Астрономами в то время называли не только любителей звездного неба, каждый вечер настраивающих свои телескопы в поисках новых и сверхновых звезд, а любого ученого, использующего в своих расчетах сложные вычисления.

Другие области применения логарифмической шкалы

Математика – не единственная дисциплина, где используется логарифмическая шкала. Часто, даже не подозревая об этом, мы пользуемся ей в других науках. Например:

• интенсивность звука (децибелы) в физике;
• шкала яркости звёзд в астрономии;
• активность водородных ионов (pH) в химии;
• шкала Рихтера для определения интенсивности землетрясения в сейсмологии;
• логарифмическая шкала времени в истории.

Решать просто уравнения скучно, хотя и очень полезно. Работать с практическими задачами намного интереснее.

Методические советы

Практическая задача:

Представим, что на Землю нападают противные инопланетные чудовища, покрытые кислотной слизью, которые размножаются делением. Первоначально на землю была заброшена исследовательская шлюпка с 8 тварями на борту. Атмосфера земли оказалась столь прекрасна, что через два часа количество особей увеличилось до 100 штук. И перед землянами стоит задача не только выхватить огнемет и с доблестью, достойной Мстителей истребить инопланетных тварей, но и рассчитать, через какое время захватчики размножатся до 500 штук и поработят землю.

Для решения задачи вспомним также понятия скорости и ускорения

1. 8^х=100 ⇒ х=log₈100 ⇒ – конечное значение скорости размножения тварей при первом изменении v_кон1

2. Проделываем те же расчеты для второго изменения: 
   8^х=500 ⇒ х=log₈500 ⇒ log₈500 – конечное значение скорости размножения тварей при втором изменении v_кон2

3. Зная формулу ускорения
   v=v_нач+at ⇒ a=(v-v_нач)/t

   где а - ускорение,

   t - время

   и приняв, что начальная скорость равна log₈8 =v_нач(наши исходные 8 тварей)

   t₁=2 часа

   t₂=x

   составим уравнения ускорения а₁ = (v_кон1-v_нач)/t₁ ⇒ (log₈100 — log₈8)/ 2

   а₂ = (v_кон2-v_нач)/t₂ ⇒ (log₈500 — log₈8)/ x

4. Поскольку инопланетные твари размножаются с постоянной скоростью, а₁=а₂ ⇒(log₈100 — log₈8)/ 2= (log₈500 — log₈8)/ x

5. Чтобы воспользоваться табличными данными, переведем логарифмы в натуральные, используя формулу

   log_ab = lnb lna

6. В этом случае выражение примет вид:

   ln100 - ln8 = ln500 - ln8 ⇒x= 2(ln500/8) 2ln8 xln8 ln(100/8)

7. Посмотрим в таблице справочные данные или вычислим на калькуляторе значения логарифмов и решим уравнение:

   x= 2×4,13 ≈3.27 часа или 3 часа 18 минут. 2,53

Ответ: всего 3 часа 18 минут понадобится инопланетным тварям на захват Земли, если герои Марвел их не остановят.