Летняя школа для учителей математики. Преподавание квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен в школе

Традиционно тема включает четыре теоремы:

1. О корнях квадратного уравнения (краеугольный камень всей теории квадратного уравнения).

2. О разложении квадратного трехчлена на (линейные) множители.

3. Виета.

4. Обратную Виета.

Чаще всего, в школе учеников знакомят с доказательствами этих теорем в общих чертах, связывая одну с другой. Например, теорема Виета объясняется на основе теоремы о корнях квадратного уравнения.

Не столь стандартный подход: рассмотреть все четыре теоремы независимо друг от друга. Эта практика пригодится ученикам, изучающим математику на углубленном уровне.

Теорема Виета

Может ли квадратное уравнение иметь два одинаковых корня? Нет: уравнение может иметь либо ноль корней, либо один, либо два. У трехчлена вполне могут быть два одинаковых корня — это известно из общей теории многочленов. Часто говорят, что всякий многочлен в n-ной степени имеет n корней — а на самом деле: n корней с учетом кратности.

Как сформулировать теорему Виета, чтобы она не зависела от теоремы о корнях? Если квадратный трехчлен имеет хотя бы один корень, то он обязательно имеет и еще один корень, возможно совпадающий с первым, и при этом их сумма равна (тому-то) и произведение равно.Теорема Виета

ax² + bx + c ; a≠0

x₁ — корень

Докажем, что x₁ обязательно имеет еще один корень — такой, что сумма корней равняется , а произведение .

Данное выражение обнуляется при:

Получается:

Мы доказали это, не используя формулу корней. Теперь перемножим:

Все это выражение ровно в -a раз меньше, чем . То есть

Тогда произведение корней равняется.

Обычно школьников учат, что нельзя применять теорему Виета, не проверив, что корни есть. Данное доказательство позволяет говорить: «Применяйте теорему Виета, убедившись, что трехчлен имеет хотя бы один корень».

Как из теоремы Виета вывести теорему о корнях квадратного уравнения?

Рассмотрим вспомогательное утверждение.

Получается, что если есть корни, то квадрат их разности равен дискриминанту, деленному на а². То есть если корни есть, то дискриминант больше либо равен нулю, и, если дискриминант отрицательный, то корней быть не может.

Так мы выводим формулу корней, рассуждая в обратную сторону — чтобы глубже ориентироваться в материале.

Теорема о корнях квадратного уравнения

x² = a. Почему нельзя сказать ? Ответ на задание «при каждом а решить уравнение» должен иметь смысл при каждом а, поэтому выражение не может быть ответом. Ответ в задаче с параметром не может не иметь смысл ни в одной точке в значении а, которая входит в данную область. Кроме того, допустим, а=-1. Разве можно записать x²=-1 и ответ ?

x² = a — нельзя единообразно решить для всех а.

Рассмотрим необычный способ решения уравнения

Решим методом деления полного квадрата. Умножим на 4а, чтобы гарантированно выделился полный квадрат.

Теорема о разложении квадратного трехчлена на множители.

Данная теорема идет рука об руку с теоремой о корнях.

Если дискриминант отрицательный, как доказать, что нет разложения на линейные множители? Рассмотрим от противного: допустим, дискриминант отрицательный.

Пусть такое разложение существует. Это значит, что при всех значениях x данные выражения действительно равны. Альфа или гамма: хотя бы один из этих коэффициентов не равен нулю.

Таким образом, наш квадратный трехчлен при отрицательном дискриминанте не разлагается на линейные множители.

Обратная теорема Виета

Доказывается абсолютно независимо.

Так мы доказали, что х₁ и х₂ — это корни, и, кроме них, никаких других корней нет.

Олимпиадные задачи. Пример 1

Как связаны между собой корни квадратных трехчленов:

Если сказано, что оба варианта квадратные трехчлены, то у нас и а, и с отличны от нуля. Следовательно, х=0 никак не может быть корнем ни одного из них.

Олимпиадные задачи. Пример 2

Существуют ли такие три квадратных трехчлена, что каждый из них

а) имеет корень;

б) имеет два различных корня,

а сумма любых двух из них корней не имеет?

Используем графический подход.

Будем работать с а>0. Можно ли нарисовать три параболы так, что, когда мы сложим эти графики попарно, они уже будут находиться над осью х, несмотря на то, что сами графики либо касались оси х, либо были под ней?

а)Нарисуем параболы y=x², y=(x-1)², y=(x+1)².

Любая их попарная сумма не будет иметь корней — это видно из рисунка. Графики из любых сумм будут лежать над осью х. То есть каждый из них имеет корень, а сумма двух — нет.

б) Нарисуем параболы y=x²-1, y=(x-3)²-1, y=(x+3)²-1.

Раскроем скобки: F(x)=2ײ-6+7

D/4<0

Ответ в случаях а) и б) : да, существуют.

Олимпиадные задачи. Пример 3

Известно, что сумма любых двух из трех данных приведенных квадратных трехчленов не имеет корней. Может ли сумма всех этих трехчленов иметь корни?

Задача чисто алгебраическая.

f1(x)+ f2(x)>0

f2(x)+ f3(x)>0

f1(x)+ f3(x)>0

Сложим данные неравенства.

2(f₁(x)+ f₂(x) + f₃(x))>0

Их удвоенная сумма всегда больше нуля. Следовательно, сумма больше нуля и корней иметь не может.

Олимпиадные задачи. Пример 4

Докажите, что любой квадратный трехчлен можно представить в виде суммы двух квадратных трехчленов с нулевыми дискриминантами.

Достаточно доказать утверждение для трехчленов вида ax2+c.

ax²+c = f₁(x)+ f₂(x)

Как меняется дискриминант, если мы умножим все коэффициенты трехчлена на одно и то же число? 0 останется нулем, а остальные изменятся.

2ײ+c = f₁(x)+ f₂(x)

(x+d)²+(x-d)²=2ײ+2d²

Этот подход не работает в случае, если коэффициент с отрицательный.

Сделаем линейную комбинацию, когда коэффициент d отрицательный.

2(x-d)²-(x-2d)²=2(x²-2xd+d²)-(x²-4xd+4d²)=x²-2d²

Умножим это все еще на 2.

2(2(x-d)²-(x-2d)²)=2(2(x²-2xd+d²)-(x²-4xd+4d²))=2ײ-4d²

Квадратный трехчлен — необъятная тема, в которой ученикам, тем не менее, необходимо разбираться для успешной сдачи ЕГЭ и других итоговых работ.