Летняя школа для учителей математики. Система задач с параметрами в учебно-методическом комплексе А. Г. Мерзляка

5 класс

Готовить учеников к задачам с параметрами можно уже с пятого класса. В учебнике А. Г. Мерзляка реализована пропедевтика по данной теме.

Примеры заданий

№275. Какое число надо поставить вместо а, чтобы корнем уравнения:
1) (х + а) – 7 = 42 было число 22;
2) (а – х) + 4 = 15 было число 3?

№276. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнем уравнения:
1) (х – 7) + а = 23 было число 9;
2) (11 + х) + 101 = а было число 5?

6 класс

Ученикам предлагаются полноценные задания с параметрами, однако подробный разбор решений еще не представлен. От школьников требуется не исследовательский подход, а эвристическая догадка.

Примеры заданий

№1171. При каких значениях а уравнение не имеет корней:
1) ах = 1;
2) (а – 2) х = 3?

№1172. Найдите все целые значения а, при которых корень уравнения является целым числом:
1) ах = - 14;
2) (а – 2) х = 12.

№ 1173. Найдите все целые значения m, при которых корень уравнения является натуральным числом:
1) mx = 20;
2) (m + 3) x = - 18

7 класс

Уже со второго параграфа («Линейное уравнение с одной переменной») школьники осваивают исследовательский подход к решению заданий с параметрами. В учебнике показаны различные ситуации и способы действий. Учеников подводят к интерпретации полученных результатов и соответствующему анализу. В конце учебного года снова идет обращение к параметрам — в теме «Система линейных уравнений с двумя переменными».

Примеры заданий

№ 61. При каком значении а уравнение:
1) ах = 6;
2) (3 – а) х = 4;
3) (а – 2) х = а + 2

№ 63. При каких значениях а уравнение:
1) (а – 5) х = 6;
2) (а + 7) х = а + 7

№ 65. Решите уравнение:
(m + 8) x = m + 8.

№ 67. В равенстве 2 (1,5х – 0,5) = 7х + * замените звездочку таким выражением, чтобы получившееся уравнение:
1) не имело корней;
2) имело бесконечно много корней;
3) имело один корень.

8 класс

На данном этапе большинство тем уже имеет то или иное отношение к задачам с параметрами. Например, «Квадратные корни»: при обосновании того, почему квадратное уравнение x2=4 имеет два корня, авторы предлагают наглядный графический метод. Ученикам показывается, каким образом в дальнейшем они будут строить свои рассуждения при графическом способе решения задач. Чтобы школьники не просто познакомились с терминологией, а отработали такой подход, задания включены в учебник систематически. Так начинается подготовка к ЕГЭ — и это базовый уровень!

Примеры заданий

№ 649. При каком значении а уравнение (а — 2 ) х² + (2а — 1) х + а² — 4 = 0 является:
1) линейным;
2) приведенным квадратом;
3) неполным неприведенным квадратом;
4) неполным приведенным квадратом?

№ 650. Определите, при каком значении а один из корней квадратного уравнения равен 0, и найдите второй корень уравнения:
1) х² + ах + а – 4 = 0;
2) 4х² + (а – 8) х + а² + а = 0;
3) ах² + (а + 3) х + а² – 3а = 0.

№ 767. Для каждого значения а решите уравнение:
1) (а² – а – 6) х = а² – 9;
2) (а² – 8а + 7) х = 2а² – 13а – 7.

№ 768. Для каждого значения а решите уравнение (а² + 7а – 8) х = а² + 16а +64.

9 класс

Теперь параметр рассматривается в неравенствах и системах неравенств: от простого к сложному. Упражнения в учебнике А. Г. Мерзляка составлены таким образом, что они являются готовыми тренажерами для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Примеры заданий

№ 217. При каких значениях а корни уравнения х² – (4а – 2) х + 3а² – 4а + 1 = 0 принадлежат промежутку [-2; 8]?

№ 218. При каких значениях a один из корней уравнения 3х² – (2а + 5) х + 2 + а – а² = 0 меньше -2, а другой – больше 3?

Задачи с параметром в углубленном курсе

В учебниках А. Г. Мерзляка углубленного уровня реализован фундаментальный подход к изучению темы. Дано непосредственное понятие «параметр», чего нет в курсе базового уровня. Подробно рассматривается графический метод, чтобы ученикам не составило труда работать с системой координат, где значение параметра откладывается по оси ординат.

Приведем примеры разбора уравнения.

9 класс. Тема «Квадратичная функция, ее график и свойства»

При каких значениях параметра ^а модуль разности корней уравнения х² – 6х + 12 + а² – 4а = 0 принимает наибольшее значение?

Решение

Преобразуем данное уравнение: (х – 3)² + (а – 2)² = 1.

Его графиком в системе координат ха является окружность.

Если прямая а = а₀ пересекает окружность в точках А и В, то модуль разности корней уравнения равен длине отрезка АВ. Следовательно, надо найти такое положение прямой а = а₀, при котором хорда АВ имеет наибольшую длину. Это условие выполняется тогда, когда хорда АВ является диаметром окружности. Отсюда а = 2.