Умножение многочлена на многочлен

Что такое многочлен?

Многочленом называется алгебраическое выражение, представляющее сумму нескольких одночленов. В свою очередь, одночлены, составляющие многочлен, называются членами многочлена.

Примеры многочленов: a – 3b² + c; 2x + 6y; 6 – 3ac

Любой многочлен состоит из нескольких одночленов.

Так, например, многочлен 2a²b + 4ac – 6xy + 8 состоит из следующих одночленов:

• 2a²b — первый одночлен;
• 4ac — второй одночлен;
• 6xy — третий одночлен;
• 8 — четвертый одночлен.

По правилу знаков любой многочлен можно представить как сумму одночленов:

2a²b + 4ac – 6xy + 8 = 2a²b + 4ac + (-6xy) + 8

Любой знак, будь то минус или плюс, стоящий слева от одночлена, относится к его числовому коэффициенту. Соответственно, минус относится к коэффициенту 6 (то есть -6).

Как умножить многочлен на многочлен?

Для операции умножения многочлена на многочлен необходимо:

1. каждый одночлен первого многочлена умножить на каждый одночлен второго многочлена;
2. сложить полученные произведения.

Рассмотрим правило на конкретном примере.

Следует произвести умножение многочленов: (6y – 2b) * (4 – 3y).

Для этого последовательно умножим первый одночлен 6y, находящийся в первой скобке, на многочлены во второй скобке. После этого сделаем то же самое и со вторым одночленом -2b из первой скобки. При раскрытии скобок и решении примера важно помнить и соблюдать правило знаков:

(6y – 2b) * (4 – 3y) = 6y * 4 + 6y * (-3y) – 2b * 4 + (-2b) * (-3y) = 24y – 18y¹⁺¹ – 8b + 6by = 24y – 18y² – 8b + 6by

Результатом умножения многочлена на многочлен так же всегда будет многочлен.

Примеры перемножения многочленов:

• (x – y) (-x – 2) = x · (-x) – 2x + xy + 2y = −x² – 2x + xy + 2y

• (x² + xy + y²)(x − y) = x²x − x² · y + xy · x − xy · y + y² · x − y² · y = x² + 1− x²y + x¹ + 1y − xy¹ + 1 + y²x − y² + 1= x³ − x²y + x²y − xy² + xy² − y³ = x³ − y³

Если требуется перемножить более двух многочленов? Какие правила следует помнить при выполнении этой операции?

Умножение более двух многочленов

Для операции перемножения более двух многочленов необходимо:

1. перемножить первые два многочлена между собой, записать получившийся результат в скобки;
2. умножить полученный новый многочлен на следующий многочлен;
3. выполнять предыдущие действия последовательно согласно количеству многочленов.

Рассмотрим правило на конкретном примере.

Следует произвести умножение трех многочленов:

(a – 2) (3a + 1) (4a – 3)

1. Умножаем первый многочлен на второй, полученный результат записываем в скобки:

(a – 2) (3a + 1) (4a – 3) = (a · 3a + a · 1 – 2 · 3a – 2 · 1) ( 4a − 3) =

= (3a¹⁺¹ + a – 6a – 2) (4a – 3) = (3a² – 5a – 2) (4a – 3)

2. Перемножаем полученный многочлен с третьим многочленом. В конце операции приводим подобные одночлены.

(3a² – 5a – 2) (4a – 3) = 3a² · 4a – 3a² · 3 – 5a · 4a + 5a · 3 – 2 · 4a + 2 · 3 =

= 12a²⁺¹ – 9a² – 20a² + 15a  – 8a + 6 =

= 12a³ – 29a² + 7a + 6

Подробнее с этой темой вы сможете ознакомиться в учебнике Алгебра. 7 класс.